Origines : qui a inventé le zéro

Les Grecs de l'Antiquité étaient de brillants mathématiciens qui ont posé les fondements de la géométrie, démontré des théorèmes qui portent encore leurs noms, et décrit le cosmos avec une précision impressionnante. Ils n'avaient pourtant pas de zéro. Aristote soutenait que le zéro ne pouvait logiquement pas exister, car la division par zéro produisait une contradiction, et une chose produisant une contradiction ne pouvait pas être réelle. C'était philosophiquement cohérent et mathématiquement catastrophique. Cela signifiait que la plus grande civilisation mathématique de la Méditerranée antique travaillait avec un vide permanent au centre de son système numérique.

Ce vide ne fut pas comblé en Grèce. Il le fut en Inde, par un mathématicien nommé Brahmagupta, en 628 apr. J.-C. Cette date n'est pas le début de l'histoire — l'histoire est plus ancienne et plus complexe — mais c'est le moment où le zéro a cessé d'être un concept vague pour devenir un nombre régi par des règles.

L'indicateur de position et le nombre

Avant d'aborder l'invention proprement dite, il est nécessaire d'établir une distinction que la plupart des histoires du zéro brouillent : la différence entre un zéro indicateur de position et un zéro nombre.

Un zéro indicateur de position marque une position vide dans un système de numération positionnel. Si l'on écrit 304 dans un système où la position détermine la valeur, il faut quelque chose pour indiquer que la colonne des dizaines est vide. Sans indicateur, 304 est indiscernable de 34 ou de 30 004 selon l'espacement. Les zéros indicateurs résolvent un problème typographique. Ils ne participent pas à l'arithmétique.

Un zéro nombre est une valeur pouvant être ajoutée à d'autres valeurs, soustraite et multipliée. Il possède des propriétés : ajouter zéro ne change rien, multiplier par zéro donne zéro. Ce zéro n'est pas un repère positionnel ; c'est un objet mathématique. Découvrir l'indicateur est utile. Découvrir le nombre est transformateur.

Plusieurs civilisations antiques ont découvert l'indicateur. Seul un petit nombre d'entre elles ont franchi le pas supplémentaire consistant à découvrir le nombre.

Babylone : l'indicateur de position apparaît

Les Babyloniens de l'antique Mésopotamie ont développé le premier système de numération positionnel au monde, fonctionnant en base 60. Vers le IIIe siècle av. J.-C., des scribes commencèrent à utiliser un symbole cunéiforme en double coin pour indiquer une colonne vide dans leurs tablettes — pour distinguer, par exemple, 3 604 de 364. C'est le plus ancien indicateur de position zéro bien documenté dans les archives historiques.

Mais les scribes babyloniens n'effectuaient aucune arithmétique avec ce symbole. Ils ne se demandaient pas ce qui se passait quand on l'ajoutait à lui-même, quand on multipliait un autre nombre par lui, ou quand on le soustrayait. Le double coin était un dispositif d'espacement. Il apparaissait à l'intérieur des nombres pour marquer des positions vides ; il n'apparaissait pas à la fin des nombres, ce qui aurait nécessité de le considérer comme un nombre à part entière.

La contribution babylonienne était immense — la notation positionnelle rendait les calculs complexes faisables d'une manière que les systèmes non positionnels comme l'égyptien ou le romain ne permettaient tout simplement pas — mais ce n'était pas le zéro en tant que nombre.

Les Mayas : une voie indépendante

Quelque part en Mésoamérique, une civilisation parvint au même résultat de façon indépendante, par des moyens différents.

Les Mayas développèrent un système de calendrier positionnel sophistiqué — le Compte long — pour suivre le temps sur de vastes périodes. Leur système numérique fonctionnait en base 20, avec un ajustement en base 18 modifiée pour certains cycles calendaires. Pour faire fonctionner ce système dans l'enregistrement des dates, ils avaient besoin d'un indicateur de position, et ils en inventèrent un : un symbole en forme de coquillage représentant le concept d'achèvement, d'un cycle arrivant à son terme.

Les plus anciennes inscriptions mayas confirmées comportant un zéro datent d'environ le IVe siècle apr. J.-C., bien que le développement puisse être quelque peu antérieur. Ce qui distingue le zéro maya de l'indicateur babylonien, c'est que le symbole maya représentait non seulement une colonne vide, mais aussi l'idée d'achèvement en soi — le zéro d'un cycle ayant parcouru toutes ses valeurs. Si cela revient à traiter le zéro comme un nombre au sens mathématique plein, les spécialistes en débattent, mais il s'agissait au minimum d'un indicateur de position conceptuellement plus riche que la version babylonienne.

Le zéro maya n'a eu aucune influence sur le développement des mathématiques indiennes. Ce furent des inventions indépendantes, séparées par la géographie et le temps, aboutissant à des conclusions similaires par des raisonnements différents. Ce développement parallèle nous apprend quelque chose d'important : le zéro, une fois qu'un système positionnel est en place, est une idée qui finit par s'imposer d'elle-même.

L'Inde : le nombre naît

Le manuscrit de Bakhshali, un texte mathématique écrit sur de l'écorce de bouleau et découvert au Pakistan en 1881, contient un symbole point utilisé comme indicateur de position zéro dans des calculs. La datation du manuscrit a été contestée pendant des décennies ; des analyses de différentes sections ont retourné des dates allant du IIIe au Xe siècle apr. J.-C. Il est clairement ancien et utilise clairement un zéro positionnel, mais la question de son âge exact n'a pas été définitivement tranchée.

Ce qui est établi, en revanche, c'est la date du Brahmasphutasiddhanta de Brahmagupta : 628 apr. J.-C. Ce texte, écrit par un mathématicien et astronome originaire de ce qui est aujourd'hui le Rajasthan, contient la première définition explicite connue du zéro comme nombre et les premières règles systématiques de l'arithmétique avec celui-ci.

Les règles de Brahmagupta étaient précises. Un nombre plus zéro est égal au nombre. Un nombre moins zéro est égal au nombre. Zéro multiplié par n'importe quel nombre est égal à zéro. Un nombre plus son opposé est égal à zéro. Ce sont les règles qui font du zéro un nombre plutôt qu'une notation, et Brahmagupta les a énoncées clairement.

Il tenta également de diviser par zéro, ce qui fut sa faiblesse. Il déclara que zéro divisé par zéro est égal à zéro, ce qui est incorrect — la division par zéro n'est pas définie, comme Aristote l'avait pressenti, même sans concept de zéro sur lequel travailler. Cette erreur prendrait des siècles à être pleinement résolue. Mais elle ne diminue pas l'accomplissement ; elle démontre que Brahmagupta faisait véritablement des mathématiques avec le zéro, explorant ses propriétés et parvenant à des conclusions qui pouvaient être vérifiées et corrigées.

L'inscription de Gwalior, une inscription sur pierre de 876 apr. J.-C. en Inde centrale, contient ce qui est considéré comme le plus ancien zéro dans un contexte numérique clair, représentant le nombre 270 sous une forme immédiatement reconnaissable pour les yeux modernes. Au IXe siècle, le zéro dans la tradition mathématique indienne était une composante pleinement intégrée de l'arithmétique.

La transmission arabe

La tradition mathématique arabe absorba les mathématiques indiennes aux VIIIe et IXe siècles, dans le cadre d'un processus de traduction et d'engagement actifs. Le califat abbasside, centré à Bagdad, soutenait un remarquable projet intellectuel : la traduction en arabe de textes mathématiques et scientifiques grecs, persans et indiens. Les chiffres indiens, dont le zéro, empruntèrent cette voie.

Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, travaillant à Bagdad au début du IXe siècle, rédigea des textes sur l'arithmétique indienne qui rendirent le système de numération indo-arabe, y compris le zéro, accessible aux savants arabisants à travers le monde islamique. Son nom, latinisé, nous donne le mot « algorithme ». Le mot « algèbre » provient du titre d'un autre de ses ouvrages.

Dès le Xe siècle, le système de numération indo-arabe — avec le zéro — était le système de travail des mathématiques de l'Asie centrale à l'Espagne. Le zéro avait parcouru le chemin d'un manuscrit d'un astronome indien au Rajasthan jusqu'à la culture mathématique du monde entier connecté en environ deux siècles.

L'Europe : une longue résistance

La rencontre de l'Europe avec le zéro fut compliquée. Le système de numération romaine, qui n'avait ni zéro ni structure positionnelle, avait servi la civilisation latine pendant des siècles. Le remplacer exigeait de changer non seulement la notation, mais une approche fondamentale de la façon dont les nombres fonctionnaient.

Le mathématicien italien Fibonacci, né à Pise vers 1170 et partiellement éduqué en Afrique du Nord où il découvrit les mathématiques arabes, publia le Liber Abaci en 1202. L'ouvrage présenta à un public européen les chiffres indo-arabes, dont le zéro, avec des explications systématiques de leur utilisation dans les calculs commerciaux. Fibonacci ne fut pas le premier Européen à rencontrer ces chiffres, mais il fut le plus efficace pour démontrer leur utilité pratique pour les marchands et les comptables.

L'adoption ne fut pas immédiate. Florence interdit brièvement les chiffres indo-arabes dans la comptabilité commerciale en 1299, au motif que l'utilisation du zéro rendait trop facile la falsification des comptes en ajoutant des zéros aux chiffres. L'interdiction fut finalement abandonnée parce que le système était tout simplement trop utile pour être prohibé. Les marchands allemands qui se battaient pour un avantage commercial sur des concurrents utilisant le nouveau système n'avaient pas la patience d'objections philosophiques au concept de néant.

Dès le XVIe siècle, les chiffres indo-arabes, dont le zéro, étaient la norme dans toute l'Europe éduquée. La réforme du calendrier grégorien, le développement des logarithmes, l'émergence du calcul infinitésimal au XVIIe siècle — tout cela dépend d'un système de numération positionnel avec un zéro fonctionnel. Ils auraient été impossibles avec les chiffres romains.

Ce que le zéro a rendu possible

L'écart entre des mathématiques sans zéro et des mathématiques avec zéro n'est pas une question de notation. C'est une question de quelles questions peuvent être posées.

Sans le zéro comme nombre, il n'y a pas de concept de nombres négatifs — il n'y a rien par rapport à quoi être inférieur. Sans zéro et nombres négatifs, il n'y a pas de droite numérique, pas de système de coordonnées, pas de manipulation algébrique d'équations avec zéro d'un côté. Sans ces outils, il n'y a pas de calcul infinitésimal, pas de mathématiques continues, et finalement pas de physique moderne.

Les équations différentielles qui décrivent le mouvement des planètes, l'écoulement de l'électricité, le comportement des particules quantiques — elles sont écrites dans un langage mathématique qui requiert le zéro. Les ordinateurs qui fonctionnent en code binaire, un système où chaque valeur est soit 0 soit 1, requièrent le zéro. Le système GPS qui triangule votre position en utilisant les mathématiques de la relativité générale requiert le zéro.

Brahmagupta, en rédigeant ses règles d'arithmétique au Rajasthan en 628 apr. J.-C., ne pouvait prévoir rien de tout cela. Il résolvait un problème qui avait préoccupé les mathématiciens indiens depuis des générations : comment traiter le résultat de la soustraction d'un nombre par lui-même comme un nombre utilisable. Le problème semblait abstrait. La solution s'avéra être le pilier porteur de la quasi-totalité de la science quantitative moderne.

C'est le destin ordinaire des idées véritablement importantes : elles semblent résoudre un problème technique étroit et finissent par avoir tout changé.