Asal Usul: Siapa yang Menemukan Angka Nol

Orang-orang Yunani kuno adalah matematikawan brilian yang membangun fondasi geometri, membuktikan teorema-teorema yang masih menyandang nama mereka, dan menggambarkan alam semesta dengan ketepatan yang mengesankan. Namun mereka tidak mengenal nol. Aristoteles berpendapat bahwa nol secara logis tidak bisa ada, karena pembagian dengan nol menghasilkan kontradiksi, dan sesuatu yang menghasilkan kontradiksi tidak mungkin nyata. Ini koheren secara filosofis tetapi bencana secara matematis. Artinya, peradaban matematika terbesar di Mediterania kuno bekerja dengan kesenjangan permanen di jantung sistem bilangannya.

Kesenjangan itu tidak terisi di Yunani. Ia terisi di India, oleh seorang matematikawan bernama Brahmagupta, pada tahun 628 M. Tanggal itu bukan awal cerita — ceritanya lebih tua dan lebih rumit — tetapi itulah momen ketika nol berhenti menjadi konsep yang samar dan menjadi sebuah angka dengan aturan-aturannya.

Penanda posisi dan angka

Sebelum sampai pada penemuan itu, perlu ditetapkan sebuah perbedaan yang sering dikaburkan dalam kebanyakan sejarah nol: perbedaan antara nol sebagai penanda posisi dan nol sebagai angka.

Nol penanda posisi menandai posisi yang kosong dalam sistem bilangan posisional. Jika kamu menulis 304 dalam sistem di mana posisi menentukan nilai, kamu butuh sesuatu untuk menunjukkan bahwa kolom puluhan kosong. Tanpa penanda posisi, 304 tidak bisa dibedakan dari 34 atau 30004 tergantung spasi. Nol penanda posisi memecahkan masalah tipografis. Mereka tidak berpartisipasi dalam aritmetika.

Nol sebagai angka adalah sebuah nilai yang bisa dijumlahkan dengan nilai lain, dikurangkan, dan dikalikan. Ia memiliki sifat: menambahkan nol tidak mengubah apa pun, mengalikan dengan nol menghasilkan nol. Nol ini bukan penanda posisi; ia adalah objek matematis. Menemukan penanda posisi itu berguna. Menemukan angkanya bersifat transformatif.

Beberapa peradaban kuno menemukan penanda posisi. Hanya sedikit yang melangkah lebih jauh untuk menemukan angkanya.

Babilonia: penanda posisi hadir

Orang Babilonia di Mesopotamia kuno mengembangkan sistem bilangan posisional pertama di dunia, bekerja dalam basis 60. Sekitar abad ke-3 SM, para penulis mulai menggunakan simbol paku-pakuan ganda untuk menandai kolom yang kosong di tablet mereka — untuk membedakan, misalnya, 3.604 dari 364. Inilah penanda posisi nol paling awal yang terdokumentasi dengan baik dalam catatan sejarah.

Namun para penulis Babilonia tidak melakukan aritmetika dengan simbol ini. Mereka tidak bertanya apa yang terjadi ketika kamu menjumlahkannya dengan dirinya sendiri, atau mengalikan angka lain dengannya, atau mengurangkannya. Irisan ganda hanyalah perangkat spasi. Ia muncul di dalam angka untuk menandai posisi yang kosong; ia tidak muncul di akhir angka, yang akan mengharuskan memikirkannya sebagai angka tersendiri.

Kontribusi Babilonia sangat besar — notasi posisional membuat perhitungan kompleks menjadi layak dengan cara yang tidak bisa dilakukan oleh sistem non-posisional seperti Mesir atau Romawi — tetapi itu bukan nol sebagai angka.

Maya: jalur yang mandiri

Di suatu tempat di Mesoamerika, sebuah peradaban mencapai pemahaman yang sama secara mandiri, melalui cara yang berbeda.

Orang Maya mengembangkan sistem kalender posisional yang canggih — the Long Count — untuk melacak waktu dalam rentang yang sangat panjang. Sistem bilangan mereka berjalan dalam basis 20, dengan penyesuaian basis 18 yang dimodifikasi untuk siklus kalender tertentu. Agar sistem ini berfungsi untuk mencatat tanggal, mereka membutuhkan penanda posisi, dan mereka menciptakannya: simbol berbentuk cangkang kerang yang mewakili konsep penyelesaian, sebuah siklus yang mencapai ujungnya.

Prasasti nol Maya tertua yang dikonfirmasi berasal dari sekitar abad ke-4 M, meskipun perkembangannya mungkin sedikit lebih awal. Yang membedakan nol Maya dari penanda posisi Babilonia adalah bahwa simbol Maya mewakili bukan hanya kolom yang kosong tetapi gagasan penyelesaian itu sendiri — nol dari sebuah siklus yang telah melewati semua nilainya. Apakah ini sama dengan memperlakukan nol sebagai angka dalam pengertian matematis penuh diperdebatkan di antara para sarjana, tetapi setidaknya ini adalah penanda posisi yang secara konseptual lebih kaya dari versi Babilonia.

Nol Maya tidak memiliki pengaruh pada perkembangan matematika India. Ini adalah penemuan-penemuan yang mandiri, dipisahkan oleh geografi dan waktu, mencapai kesimpulan yang serupa melalui penalaran yang berbeda. Perkembangan paralel ini memberi tahu kita sesuatu yang penting: nol, setelah sistem posisional ada, adalah gagasan yang pada akhirnya memaksakan keberadaannya sendiri.

India: angka itu lahir

Manuskrip Bakhshali, sebuah teks matematika yang ditulis di atas kulit kayu birch dan ditemukan di Pakistan pada tahun 1881, mengandung simbol titik yang digunakan sebagai nol penanda posisi dalam perhitungan. Penanggalan manuskrip ini telah diperdebatkan selama beberapa dekade; analisis berbagai bagian telah mengembalikan tanggal yang berkisar dari abad ke-3 hingga ke-10 M. Naskah ini jelas kuno dan jelas menggunakan nol posisional, tetapi pertanyaan tentang berapa tepatnya usianya belum diselesaikan secara definitif.

Yang pasti adalah tanggal Brahmasphutasiddhanta karya Brahmagupta: 628 M. Teks ini, ditulis oleh seorang matematikawan dan astronom dari apa yang sekarang menjadi Rajasthan, berisi definisi eksplisit pertama yang diketahui tentang nol sebagai angka dan aturan sistematis pertama untuk aritmetika dengannya.

Aturan-aturan Brahmagupta sangat spesifik. Sebuah angka ditambah nol sama dengan angka itu. Sebuah angka dikurangi nol sama dengan angka itu. Nol dikali angka apa pun sama dengan nol. Sebuah angka ditambah negatifnya sama dengan nol. Inilah aturan-aturan yang menjadikan nol sebuah angka bukan sekadar notasi, dan Brahmagupta menyatakannya dengan jelas.

Ia juga mencoba membagi dengan nol, di sinilah ia tersandung. Ia menyatakan bahwa nol dibagi nol sama dengan nol, yang tidak benar — pembagian dengan nol tidak terdefinisi, seperti yang sudah dirasakan Aristoteles bahkan tanpa konsep nol untuk dikerjakan. Kesalahan ini membutuhkan berabad-abad untuk diselesaikan sepenuhnya. Namun kesalahan itu tidak mengurangi pencapaian; ia menunjukkan bahwa Brahmagupta benar-benar melakukan matematika dengan nol, menjelajahi sifat-sifatnya dan mencapai kesimpulan yang bisa diperiksa dan dikoreksi.

Prasasti Gwalior, catatan batu dari tahun 876 M di India tengah, memuat apa yang dianggap sebagai nol tertua dalam konteks angka yang jelas, mewakili angka 270 dalam bentuk yang langsung dikenali oleh mata modern. Pada abad ke-9, nol dalam tradisi matematika India sudah menjadi komponen aritmetika yang sepenuhnya terintegrasi.

Transmisi Arab

Tradisi matematika Arab menyerap matematika India pada abad ke-8 dan ke-9 melalui proses penerjemahan dan keterlibatan yang aktif. Kekhalifahan Abbasiyah, yang berpusat di Baghdad, mendukung proyek intelektual yang luar biasa: penerjemahan teks-teks matematika dan ilmiah Yunani, Persia, dan India ke dalam bahasa Arab. Angka-angka India, termasuk nol, melewati jalur ini.

Muhammad ibn Musa al-Khawarizmi, bekerja di Baghdad pada awal abad ke-9, menulis teks-teks tentang aritmetika India yang membuat sistem angka Hindu-Arab, termasuk nol, dapat diakses oleh para sarjana berbahasa Arab di seluruh dunia Islam. Namanya, yang di-latinkan, memberi kita kata "algoritma." Kata "aljabar" berasal dari judul karya lainnya.

Pada abad ke-10, sistem angka Hindu-Arab — dengan nol — adalah sistem kerja matematika dari Asia Tengah hingga Spanyol. Nol telah melakukan perjalanan dari manuskrip astronom India di Rajasthan ke budaya matematika seluruh dunia yang terhubung hanya dalam waktu sekitar dua abad.

Eropa: perlawanan panjang

Pertemuan Eropa dengan nol itu rumit. Sistem angka Romawi, yang tidak memiliki nol dan tidak memiliki struktur posisional, telah melayani peradaban Latin selama berabad-abad. Penggantinya membutuhkan perubahan bukan hanya pada notasi tetapi pada pendekatan fundamental tentang cara kerja angka.

Matematikawan Italia Fibonacci, lahir di Pisa sekitar tahun 1170 dan sebagian dididik di Afrika Utara di mana ia berkenalan dengan matematika Arab, menerbitkan Liber Abaci pada tahun 1202. Buku itu memperkenalkan angka Hindu-Arab, termasuk nol, kepada audiens Eropa dengan penjelasan sistematis tentang penggunaannya dalam perhitungan dagang. Fibonacci bukan orang Eropa pertama yang mengenal angka-angka ini, tetapi ia paling efektif dalam menunjukkan kegunaan praktisnya bagi para pedagang dan akuntan.

Adopsi tidak langsung terjadi. Florence sempat melarang angka Hindu-Arab dalam pembukuan dagang pada tahun 1299, dengan alasan bahwa penggunaan nol membuat pemalsuan akun terlalu mudah dengan menambahkan nol ke angka-angka. Larangan itu akhirnya ditinggalkan karena sistem ini terlalu berguna untuk dilarang. Para pedagang Jerman yang berjuang untuk keunggulan dagang atas pesaing yang menggunakan sistem baru tidak punya kesabaran untuk keberatan filosofis terhadap konsep ketiadaan.

Pada abad ke-16, angka Hindu-Arab termasuk nol sudah menjadi standar di seluruh Eropa terpelajar. Reformasi kalender Gregorian, pengembangan logaritma, munculnya kalkulus pada abad ke-17 — semua ini bergantung pada sistem bilangan posisional dengan nol yang berfungsi. Mereka akan mustahil dengan angka Romawi.

Apa yang dimungkinkan oleh nol

Kesenjangan antara matematika tanpa nol dan matematika dengan nol bukan masalah notasi. Ini masalah pertanyaan apa yang bisa diajukan.

Tanpa nol sebagai angka, tidak ada konsep bilangan negatif — tidak ada yang bisa kurang dari itu. Tanpa nol dan bilangan negatif, tidak ada garis bilangan, tidak ada sistem koordinat, tidak ada manipulasi aljabar persamaan dengan nol di satu sisi. Tanpa alat-alat itu, tidak ada kalkulus, tidak ada matematika kontinu, dan pada akhirnya tidak ada fisika modern.

Persamaan diferensial yang menggambarkan gerak planet, aliran listrik, perilaku partikel kuantum — semua ini ditulis dalam bahasa matematika yang membutuhkan nol. Komputer yang berjalan dengan kode biner, sistem di mana setiap nilai adalah 0 atau 1, membutuhkan nol. Sistem GPS yang menentukan posisimu menggunakan matematika relativitas umum membutuhkan nol.

Brahmagupta, yang menulis aturan aritmetikanya di Rajasthan pada tahun 628 M, tidak mungkin bisa membayangkan semua ini. Ia sedang memecahkan masalah yang telah mengganggu matematikawan India selama beberapa generasi: bagaimana memperlakukan hasil pengurangan sebuah angka dari dirinya sendiri sebagai angka yang bisa dikerjakan. Masalah itu tampak abstrak. Solusinya ternyata adalah tiang penyangga di bawah sebagian besar ilmu kuantitatif modern.

Itulah nasib standar dari gagasan-gagasan yang benar-benar penting: tampaknya memecahkan masalah teknis yang sempit dan ternyata telah mengubah segalanya.