الأصول: من اخترع الصفر؟

كان الإغريق القدماء علماء رياضيات بارعين، أرسوا أسس الهندسة، وأثبتوا مبرهنات لا تزال تحمل أسماءهم، ووصفوا الكون بدقة مذهلة. غير أنهم لم يعرفوا الصفر. رأى أرسطو أن الصفر لا يمكن أن يوجد منطقياً، لأن القسمة عليه تفضي إلى تناقض، وما أفضى إلى تناقض لا يمكن أن يكون حقيقياً. كان هذا الموقف متسقاً فلسفياً، لكنه كارثي رياضياً، إذ عنى أن أعظم حضارة رياضية في حوض البحر المتوسط القديم كانت تعمل مع ثغرة دائمة في صميم منظومتها العددية.

لم تُسدَّ هذه الثغرة في اليونان، بل سُدَّت في الهند على يد عالم رياضيات يُدعى برهمجوبتا عام 628م. هذا التاريخ ليس بداية القصة، فالقصة أقدم وأكثر تعقيداً، لكنه اللحظة التي توقف فيها الصفر عن كونه فكرة ضبابية وغدا عدداً تحكمه قواعد.

الحامل المكاني مقابل العدد

قبل الخوض في الاختراع، لا بد من تأسيس تمييز يطمسه معظم المؤرخين: الفرق بين صفر الحامل المكاني وصفر العدد.

صفر الحامل المكاني يُعلِّم خانة فارغة في نظام الأرقام الموضعية. إن كنت تكتب 304 في نظام تحدد فيه المواضع القيم، فأنت بحاجة إلى شيء يُبيِّن أن خانة العشرات خالية. بغير هذا الحامل، لا يمكن التمييز بين 304 و34 و30004 إلا بالمسافات. والحاملات المكانية تحل مشكلة طباعية لا غير، ولا تدخل في العمليات الحسابية.

أما صفر العدد فهو قيمة يمكن جمعها مع قيم أخرى وطرحها وضربها. له خصائص: إضافة الصفر لا تغير شيئاً، والضرب بالصفر ينتج صفراً. هذا الصفر ليس إشارة موضعية، بل هو كائن رياضي. اكتشاف الحامل مفيد، واكتشاف العدد تحويلي.

اكتشفت حضارات قديمة عدة الحامل، أما خطوة اكتشاف العدد فلم تتخطها إلا حضارات قليلة.

بابل: وصول الحامل المكاني

طوّر البابليون في بلاد ما بين النهرين القديمة أول نظام أرقام موضعي في التاريخ، وكان يعمل بنظام الأساس 60. وبحلول القرن الثالث قبل الميلاد تقريباً، بات الكتّاب يستخدمون رمز وتد مزدوج بالخط المسماري للإشارة إلى خانة فارغة في ألواحهم، للتمييز مثلاً بين 3604 و364. هذا هو أبكر توثيق معروف لحامل مكاني من الصفر في السجل التاريخي.

لكن الكتّاب البابليين لم يُجروا عمليات حسابية بهذا الرمز. لم يتساءلوا ماذا يحدث حين تجمعه إلى نفسه، أو تضرب عدداً آخر فيه، أو تطرحه. كان الوتد المزدوج أداة تباعد، يظهر داخل الأعداد لتعليم الخانات الفارغة، ولا يظهر في نهايتها، وهو ما كان يستلزم التعامل معه بوصفه عدداً قائماً بذاته.

كان إسهام البابليين ضخماً، إذ جعلت الكتابة الموضعية الحسابات المعقدة ممكنة بما لا يقاسه نظام غير موضعي كالمصري أو الروماني، غير أنه لم يكن الصفر بمفهوم العدد.

المايا: الطريق المستقل

في مكان ما من أمريكا الوسطى، توصلت حضارة إلى الفكرة ذاتها باستقلالية تامة وعبر وسائل مختلفة.

طوّرت حضارة المايا نظاماً تقويمياً موضعياً متطوراً يُعرف بالحساب الطويل، لتتبع الزمن عبر حقب شاسعة. كان نظامهم العددي يعمل بالأساس 20 مع تعديل بالأساس 18 في دورات تقويمية بعينها. ولإتقان عمل هذا النظام في تسجيل التواريخ، احتاجوا إلى حامل مكاني فابتكروه: رمز على شكل صدفة يمثل مفهوم الاكتمال، أي دورة بلغت نهايتها.

تعود أقدم نقوش المايا المؤكدة التي تتضمن الصفر إلى نحو القرن الرابع الميلادي، وإن كان التطور ربما أسبق من ذلك. ما يميز صفر المايا عن الحامل البابلي أن رمز المايا لم يمثل خانة فارغة فحسب، بل مثّل فكرة الاكتمال في حد ذاتها، أي الصفر لدورة استنفدت كل قيمها. وهل يرقى هذا إلى معاملة الصفر عدداً بالمعنى الرياضي الكامل؟ مسألة خلافية بين الباحثين، لكنه على أقل تقدير حامل مكاني أغنى مفهومياً من النسخة البابلية.

لم يكن لصفر المايا أي أثر على تطوير الرياضيات الهندية. كانا اختراعين مستقلين، فصل بينهما الجغرافيا والزمن، توصّلا إلى نتائج متشابهة بمسارات مختلفة. يُخبرنا هذا التطور المتوازي بشيء مهم: الصفر، متى وُجد نظام موضعي، فكرة تفرض وجودها في نهاية المطاف.

الهند: ولادة العدد

في أوساط مؤرخي الرياضيات، يتتبع سؤال من اخترع الصفر إلى شبه القارة الهندية في نهاية المطاف.

مخطوطة باخشالي، نص رياضي محفور على لحاء البتولا اكتُشف في باكستان عام 1881م، تحتوي على رمز نقطة مستخدم حاملاً مكانياً للصفر في الحسابات. ظل تأريخ المخطوطة موضع جدل لعقود، وأسفرت تحليلات أقسام مختلفة منها عن تواريخ تتراوح بين القرن الثالث والقرن العاشر الميلادي. من الواضح أنها قديمة وتستخدم صفراً موضعياً، لكن السؤال عن عمرها الدقيق لم يُحسم بعد.

أما ما هو محسوم فهو تاريخ براهماسفوتاسيدهانتا لبرهمجوبتا: 628م. يتضمن هذا الكتاب، الذي ألّفه عالم رياضيات وفلكي من منطقة ما يُعرف اليوم براجستان، أول تعريف صريح معروف للصفر بوصفه عدداً وأول قواعد منهجية للحساب به.

كانت قواعد برهمجوبتا دقيقة. عدد مضاف إليه صفر يساوي العدد. عدد مطروح منه صفر يساوي العدد. صفر مضروب في أي عدد يساوي صفراً. عدد مضاف إليه عدده السالب يساوي صفراً. هذه هي القواعد التي تجعل الصفر عدداً لا مجرد رمز، وقد صاغها برهمجوبتا بوضوح.

حاول أيضاً القسمة على الصفر، وهنا تعثّر. أعلن أن صفراً مقسوماً على صفر يساوي صفراً، وهو خطأ. فالقسمة على الصفر غير معرّفة، كما أحسّ أرسطو حتى بغير مفهوم للصفر. استغرق تصحيح هذا الخطأ قروناً. غير أن الخطأ لا ينتقص من الإنجاز، بل يُثبت أن برهمجوبتا كان يُمارس رياضيات حقيقية مع الصفر، يستكشف خصائصه ويخلص إلى نتائج قابلة للفحص والتصحيح.

نقش غواليور، سجل حجري من عام 876م في وسط الهند، يحتوي على ما يُعد أقدم صفر في سياق عددي واضح، يمثل الرقم 270 بصورة مألوفة للعين الحديثة على الفور. وبحلول القرن التاسع الميلادي، كان الصفر في التقليد الرياضي الهندي مكوناً متكاملاً تماماً في الحساب.

النقل عبر العرب

استوعب التقليد الرياضي العربي الرياضياتِ الهندية في القرنين الثامن والتاسع الميلاديين عبر مسيرة ترجمة ومشاركة فاعلة. دعمت الخلافة العباسية في بغداد مشروعاً فكرياً رائعاً: ترجمة النصوص الرياضية والعلمية اليونانية والفارسية والهندية إلى العربية. وسلكت الأرقام الهندية بما فيها الصفر هذا الطريق.

كتب محمد بن موسى الخوارزمي، الذي عمل في بغداد في مطلع القرن التاسع الميلادي، نصوصاً في الحساب الهندي جعلت نظام الأرقام الهندية العربية بما فيه الصفر في متناول العلماء الناطقين بالعربية في أرجاء العالم الإسلامي. ومن اسمه اللاتيني جاءت كلمة "الخوارزمية" (Algorithm). وكلمة "الجبر" مأخوذة من عنوان أحد مؤلفاته الأخرى.

وبحلول القرن العاشر الميلادي، كان نظام الأرقام الهندية العربية بصفره النظامَ الرياضي العامل من آسيا الوسطى حتى الأندلس. قطع الصفر رحلته من مخطوطة فلكي هندي في راجستان إلى المنظومة الثقافية الرياضية للعالم المتصل بأسره في قرنين تقريباً.

أوروبا: المقاومة الطويلة

كان لقاء أوروبا بالصفر مثيرة للجدل. خدم نظام الأرقام الرومانية، الخالي من الصفر والبنية الموضعية، الحضارةَ اللاتينية لقرون. واستدعى استبداله تغيير النهج الأساسي في التعامل مع الأعداد لا مجرد تغيير الرموز.

الرياضي الإيطالي فيبوناتشي، المولود في بيزا نحو عام 1170م والمتعلم جزئياً في شمال أفريقيا حيث اطّلع على الرياضيات العربية، أصدر كتاب ليبر أباتشي عام 1202م. قدّم الكتاب الأرقامَ الهندية العربية بما فيها الصفر لجمهور أوروبي مع شرح منهجي لاستخدامها في الحسابات التجارية. لم يكن فيبوناتشي أول أوروبي يصادف هذه الأرقام، لكنه كان الأكثر نجاعة في إظهار جدواها العملية للتجار والمحاسبين.

لم يكن التبني فورياً. حظرت فلورنسا الأرقامَ الهندية العربية في دفاتر الحسابات التجارية عام 1299م، بحجة أن استخدام الصفر يُيسّر تزوير الحسابات بإلحاق أصفار بالأرقام. لكن الحظر أُلغي في نهاية المطاف لأن النظام كان شديد النفع بحيث يتعذر حظره. لم يكن التجار الألمان الساعون للتفوق التنافسي على منافسين يستخدمون النظام الجديد ليصبروا على الاعتراضات الفلسفية على مفهوم العدم.

وبحلول القرن السادس عشر، كانت الأرقام الهندية العربية بما فيها الصفر معياراً سائداً في أوروبا المتعلمة. الإصلاح الغريغوري للتقويم، وتطوير اللوغاريتمات، ونشأة حساب التفاضل والتكامل في القرن السابع عشر، كلها تعتمد على نظام أرقام موضعي بصفر فعّال، ولكانت مستحيلة بالأرقام الرومانية.

ما أتاحه الصفر

الهوة بين رياضيات بلا صفر ورياضيات به ليست مسألة رموز، بل مسألة الأسئلة التي يمكن طرحها.

بلا صفر عدداً، لا توجد فكرة الأعداد السالبة، إذ لا شيء تقل عنه قيمة. وبلا صفر وأعداد سالبة، لا يوجد خط الأعداد ولا نظام الإحداثيات ولا تحويل الجبري للمعادلات التي تساوي صفراً في أحد طرفيها. وبلا هذه الأدوات، لا يوجد حساب تفاضل وتكامل ولا رياضيات مستمرة وفي نهاية المطاف لا فيزياء حديثة.

المعادلات التفاضلية التي تصف حركة الكواكب وتدفق الكهرباء وسلوك الجسيمات الكمومية مكتوبة بلغة رياضية تستلزم الصفر. الحاسوب الذي يعمل بالشيفرة الثنائية، حيث كل قيمة إما 0 أو 1، يستلزم الصفر. ونظام تحديد المواقع العالمي الذي يُحدد موضعك بحسابات النسبية العامة يستلزم الصفر.

لم يكن برهمجوبتا، وهو يكتب قواعد الحساب في راجستان عام 628م، ليتنبأ بشيء من هذا. كان يحل مشكلة أرقت علماء الرياضيات الهنود لأجيال: كيف تتعامل مع ناتج طرح عدد من نفسه بوصفه عدداً قابلاً للعمل به. بدت المشكلة مجردة، أما الحل فتبيّن أنه الركيزة الحاملة لمعظم العلوم الكمية الحديثة.

هذا هو المصير المعتاد للأفكار البالغة الأهمية حقاً: تبدو وكأنها تحل مشكلة تقنية ضيقة، فإذا بها قد غيّرت كل شيء.

يرتبط اختراع الصفر بإنجازات فكرية أخرى تأسيسية في تاريخ البشرية. لنظام الأرقام الذي ينتمي إليه الصفر قصة أصل خاصة به، مرويّة في الأصول: الأرقام. والضغوط التقويمية التي دفعت إلى ابتكار الحامل البابلي يمكن استكشافها في الأصول: التقويم.