Orígenes: cómo llegaron a nosotros los números hindú-arábigos

Los numerales de un tíquet de 2026 —0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9— resultan tan universales que la mayoría de la gente da por sentado que siempre han existido y que siempre han tenido más o menos el aspecto que tienen. Ninguna de las dos cosas es cierta. Estas diez formas se inventaron en India a lo largo de unos mil años, viajaron por el mundo islámico durante otros cuatro siglos, fueron rechazadas por las autoridades europeas durante trescientos años más y solo se convirtieron en estándar mundial en el siglo XVI. La historia es una de las transmisiones intelectuales sostenidas más largas de la historia registrada, y las personas que la llevaron de una civilización a otra no solían pretender transformar el mundo. Solo intentaban hacer mejor la aritmética.

Los numerales antes de que existieran los nuestros

Todas las civilizaciones letradas anteriores al sistema hindú-arábigo tenían una forma de escribir los números, y casi todas compartían una limitación fatal: su notación era útil para registrar, pero inútil para calcular.

Los números romanos son el ejemplo que mejor conoce un lector moderno. El sistema funcionaba perfectamente para inscribir fechas en monumentos o anotar sumas en un libro de cuentas. Funcionaba muy mal para hacer aritmética de verdad. Sumar XLVII a CDXCII no es una operación que se pueda realizar escribiendo los numerales uno encima del otro y llevando cifras, porque los números romanos no son posicionales. No hay estructura de columnas, ni cero, ni valor posicional. La aritmética romana se hacía en un tablero de contar o un ábaco, y los resultados se transcribían luego para el registro escrito. La notación y el cálculo eran tecnologías separadas.

Los numerales egipcios tenían un problema similar. También los numerales alfabéticos griegos, en los que las letras hacían las veces de dígitos, y la mayoría de los sistemas precolombinos, con la excepción parcial de los mayas, que desarrollaron un sistema posicional independiente pero no lo exportaron.

El fundamento indio

Los numerales que hoy usamos remontan su ascendencia visual a la escritura brahmi del antiguo India. Las inscripciones brahmi del siglo III a. C., incluidos los famosos edictos del emperador Ashoka, contienen símbolos numéricos para los dígitos del 1 al 9 que presentan un parecido familiar reconocible con sus descendientes modernos, aunque el parecido no siempre resulte obvio a primera vista.

Lo que los numerales brahmi no tenían todavía era el principio del valor posicional. El sistema numeral brahmi más antiguo usaba símbolos separados para diez, veinte, treinta, cien, etc. Era un sistema aditivo de la misma familia que los números romanos, solo que con formas distintas. El salto que hizo posible el sistema moderno vino después, cuando los matemáticos indios comenzaron a utilizar únicamente los símbolos para el 1 al 9, más un marcador de posición, y dejaron que la posición portara el significado que antes exigía símbolos separados para cada magnitud.

Este cambio se fue produciendo a lo largo de siglos y la documentación es fragmentaria. El manuscrito Bakhshali, escrito sobre corteza de abedul y descubierto en 1881 en lo que hoy es Pakistán, contiene el uso de un punto como cero marcador de posición en los cálculos. El manuscrito se ha datado en distintos períodos entre los siglos III y X según la sección analizada, y la cuestión de cuán antigua es su capa más antigua sigue siendo controvertida.

Lo que no se discute es que para el siglo VII d. C. los matemáticos indios disponían de un sistema decimal plenamente funcional de valor posicional con los dígitos del 1 al 9 y un cero que participaba en los cálculos. El matemático Brahmagupta, que escribía en Rayastán en el año 628 d. C., fue el primero en formular reglas explícitas para la aritmética con el cero. En su época, el sistema producía resultados suficientemente buenos para los cálculos astronómicos y astrológicos que impulsaban gran parte de la actividad matemática india.

La transmisión abasí

El sistema indio habría permanecido como un logro indio si no hubiera sido por el Califato Abasí, la dinastía islámica que gobernó desde Bagdad a partir del año 750 d. C. y que presidió uno de los grandes proyectos de traducción de la historia.

La corte abasí buscaba activamente textos matemáticos y científicos griegos, persas e indios y los hacía traducir al árabe en la Casa de la Sabiduría de Bagdad. Las obras astronómicas indias, incluida la tradición Brahmasiddhanta que procedía de Brahmagupta, llegaron al mundo árabe a finales del siglo VIII. Para comienzos del siglo IX, los matemáticos árabes no se limitaban a traducir los métodos indios, sino que los ampliaban.

La figura decisiva es Muhammad ibn Musa al-Juarismi, matemático y astrónomo de la Casa de la Sabiduría nacido en lo que hoy es Uzbekistán hacia el año 780 d. C. y fallecido en Bagdad hacia el 850 d. C. Al-Juarismi escribió un breve tratado —titulado algo así como Kitab al-jam'a wa al-tafriq bi-hisab al-Hind, «Libro de la suma y la resta según el cómputo indio»— que explicaba el sistema decimal indio a los lectores en árabe. El texto árabe original no ha sobrevivido, pero las traducciones latinas del siglo XII preservaron su contenido. También escribió un libro separado sobre resolución de ecuaciones cuyo título en árabe, al-jabr wa al-muqabala, nos dio la palabra castellana «álgebra», y cuyo nombre de autor, latinizado en las transcripciones medievales europeas, nos dio «algoritmo».

Al-Juarismi no fue el único matemático árabe que trabajó con los numerales indios. Al-Kindi y Al-Uqlidisi escribieron sobre el mismo sistema. Para el siglo X, el sistema hindú-arábigo —como lo llaman los estudiosos para reconocer ambas etapas— era la matemática operativa de todo el mundo islámico, desde Asia Central hasta Al-Ándalus. Los matemáticos árabes lo refinaron sustancialmente: métodos para extraer raíces cuadradas, trabajar con fracciones decimales y manejar números negativos. También estabilizaron las formas visuales de los dígitos en las dos ramas principales que sobreviven hoy, las formas árabes orientales usadas en persa y urdu, y las formas árabes occidentales, mucho más cercanas a las formas europeas modernas.

Al otro lado del Mediterráneo

El contacto europeo con el sistema hindú-arábigo se produjo por etapas y a lo largo del tiempo. Gerberto de Aurillac, que se convirtió en el papa Silvestre II en el año 999 d. C., conoció las matemáticas árabes durante sus estudios en Cataluña en la década de 960 e introdujo supuestamente un tablero de contar con numerales de forma árabe en las matemáticas monásticas. El sistema no cuajó. Los contadores de Gerberto fueron una curiosidad, no una notación funcional.

El avance llegó con Leonardo de Pisa, conocido por la historia como Fibonacci, nacido hacia 1170. Su padre Guglielmo era funcionario de aduanas que representaba a los mercaderes pisanos en el puerto de Bugía, en el actual Argelia, y Fibonacci pasó su adolescencia allí aprendiendo matemáticas comerciales árabes de maestros locales. Regresó a Pisa convencido de que el sistema hindú-arábigo era simplemente superior a la combinación de números romanos y ábaco que seguía siendo estándar en Europa, y de que podía demostrarlo.

En 1202 publicó el Liber Abaci —«El libro del cálculo»; a pesar del título, no trata del ábaco sino de cómo sustituirlo. El libro comienza con una clara introducción a los diez dígitos y el sistema de valor posicional, y prosigue con cientos de ejercicios comerciales resueltos: conversiones de moneda entre las de Pisa, Florencia y Bolonia, problemas de mezcla de aleaciones para el ensayador, cálculos de beneficios y pérdidas, el famoso problema sobre la reproducción de conejos que nos da la sucesión de Fibonacci casi como nota al margen.

En el plazo de dos generaciones, las escuelas de ábaco —escuelas de cálculo para los hijos de los mercaderes— enseñaban los números hindú-arábigos en las ciudades italianas. Para finales del siglo XIII, el nuevo sistema ganaba claramente entre los comerciantes, que podían comprobar que calcular una factura en varias divisas con numerales hindú-arábigos costaba una fracción del tiempo que exigía el ábaco.

La larga resistencia

La adopción no fue universal ni inmediata. En 1299, la ciudad de Florencia aprobó una ordenanza que restringía el uso de los números hindú-arábigos en las cuentas oficiales alegando que eran demasiado fáciles de alterar. La objeción era técnicamente válida: se podía añadir un cero al final de un número, convertir un 1 en un 7. Los números romanos eran más verbosos y más difíciles de falsificar de forma descuidada. Varias ciudades italianas y alemanas aprobaron restricciones similares a lo largo del siglo XIV.

La resistencia no era solo por el fraude. También había una dimensión gremial. Los calculadores profesionales entrenados con el ábaco tenían interés en el sistema antiguo. También las universidades, donde los números romanos gozaban de prestigio y los hindú-arábigos llevaban asociados una vaga connotación con las clases comerciales que los aprendían.

El cambio se impuso igualmente, porque la brecha de productividad era demasiado grande para sostener un muro regulatorio en su contra. Para el siglo XVI, los números hindú-arábigos eran estándar tanto para las matemáticas comerciales como para las académicas en toda Europa, y los números romanos habían quedado reducidos a su papel decorativo moderno en las esferas de reloj, las inscripciones monumentales y los preliminares de los libros.

La imprenta, que comenzó a producir libros en volumen a partir de la década de 1450, aceleró la convergencia en un pequeño número de formas de dígitos. Los fundidores de tipos se decantaron por formas derivadas de la tradición árabe occidental, y en menos de un siglo las formas visuales del 0 al 9 en los libros impresos europeos se habían estabilizado en algo muy parecido a lo que un lector de 2026 ve en una página.

Lo que el sistema hace en realidad

La razón por la que los números hindú-arábigos siguen aquí, ochocientos años después de Fibonacci, es que hacen posible el cálculo de una manera que otros sistemas no permiten. Multiplicar dos números grandes, realizado a mano con el algoritmo estándar que se enseña en la escuela primaria, requiere aproximadamente el doble de pasos que de dígitos tiene el resultado. La misma operación realizada en un ábaco tarda más y no produce ningún registro escrito de los pasos intermedios. Realizada con números romanos, no es realmente una operación significativa en absoluto.

Lo que los matemáticos indios del siglo VII inventaron, los eruditos de Bagdad del siglo IX refinaron y los matemáticos comerciales italianos del siglo XIII transmitieron no fue simplemente una notación. Fue una interfaz entre el pensamiento humano y las operaciones de la aritmética que hizo más fácil todo avance matemático posterior. Los ordenadores modernos funcionan en binario internamente, pero presentan sus resultados en esas diez formas. Los lenguajes de programación, la notación científica, el software financiero, las coordenadas GPS: todo ello se expresa en último término de la misma manera.

Nadie planificó el sistema como estándar mundial. Se convirtió en uno porque era simplemente mejor que las alternativas, y la diferencia era visible para cualquiera que probara ambos. Así es como las tecnologías ganan de verdad. No por decreto ni por prestigio, sino ahorrándole a un empleado dos horas al día hasta que suficientes empleados han cambiado que ningún empresario puede permitirse seguir con el método antiguo.