Orígenes: quién inventó el cero

Los griegos de la Antigüedad fueron matemáticos brillantes que sentaron los fundamentos de la geometría, demostraron teoremas que aún llevan su nombre y describieron el cosmos con notable precisión. Y, sin embargo, no tenían el cero. Aristóteles sostenía que el cero no podía existir lógicamente, porque la división por cero producía contradicción, y una cosa que producía contradicción no podía ser real. Eso era filosóficamente coherente y matemáticamente catastrófico. Significaba que la mayor civilización matemática del Mediterráneo antiguo trabajaba con un vacío permanente en el centro de su sistema numérico.

El vacío no se llenó en Grecia. Se llenó en India, de la mano de un matemático llamado Brahmagupta, en el año 628 d. C. Esa fecha no es el comienzo de la historia —la historia es más antigua y más compleja—, pero es el momento en que el cero dejó de ser un concepto vago y se convirtió en un número con reglas.

El marcador de posición y el número

Antes de llegar a la invención en sí, es necesario establecer una distinción que la mayoría de las historias del cero difuminan: la diferencia entre un cero como marcador de posición y un cero como número.

Un cero marcador de posición señala una posición vacía en un sistema numérico posicional. Si escribes 304 en un sistema donde la posición determina el valor, necesitas algo que indique que la columna de las decenas está vacía. Sin un marcador, 304 sería indistinguible de 34 o de 30004 dependiendo del espaciado. Los ceros marcadores de posición resuelven un problema tipográfico. No participan en la aritmética.

Un cero número es un valor que puede sumarse a otros valores, restarse y multiplicarse. Tiene propiedades: sumar cero no cambia nada; multiplicar por cero produce cero. Este cero no es una señal posicional; es un objeto matemático. Descubrir el marcador es útil. Descubrir el número es transformador.

Varias civilizaciones antiguas descubrieron el marcador. Solo unas pocas dieron el paso adicional de descubrir el número.

Babilonia: llega el marcador de posición

Los babilonios de la antigua Mesopotamia desarrollaron el primer sistema de numeración posicional del mundo, trabajando en base 60. Hacia el siglo III a. C., los escribas comenzaron a usar un símbolo de doble cuña en escritura cuneiforme para indicar una columna vacía en sus tablillas —para distinguir, pongamos, 3604 de 364—. Es el primer marcador de posición del cero bien documentado en el registro histórico.

Pero los escribas babilonios no hacían aritmética con ese símbolo. No se preguntaban qué ocurría cuando se sumaba a sí mismo, o cuando se multiplicaba otro número por él, o cuando se le restaba. La doble cuña era un recurso de espaciado. Aparecía dentro de los números para marcar posiciones vacías; no aparecía al final de los números, lo que habría exigido considerarlo un número por derecho propio.

La contribución babilónica fue enorme —la notación posicional hacía viable el cálculo complejo de una manera que los sistemas no posicionales, como el egipcio o el romano, simplemente no permitían—, pero no era el cero como número.

Los mayas: un camino independiente

En algún lugar de Mesoamérica, una civilización llegó a la misma intuición de manera independiente, a través de vías distintas.

Los mayas desarrollaron un sofisticado sistema de calendario posicional —la Cuenta Larga— para registrar el tiempo a lo largo de vastos períodos. Su sistema numérico funcionaba en base 20, con un ajuste modificado a base 18 para ciertos ciclos del calendario. Para que este sistema sirviese para registrar fechas, necesitaban un marcador, y lo inventaron: un símbolo con forma de concha que representaba el concepto de finalización, de un ciclo que había llegado a su fin.

Las inscripciones mayas con cero más antiguas confirmadas datan en torno al siglo IV d. C., aunque el desarrollo puede ser algo anterior. Lo que distingue el cero maya del marcador babilónico es que el símbolo maya representaba no solo una columna vacía, sino la idea de completitud en sí misma —el cero de un ciclo que había recorrido todos sus valores—. Si esto equivale a tratar el cero como un número en el pleno sentido matemático es algo que los especialistas debaten, pero era al menos un marcador conceptualmente más rico que el babilónico.

El cero maya no influyó en el desarrollo de las matemáticas indias. Fueron inventos independientes, separados por geografía y tiempo, que llegaron a conclusiones similares por razonamientos distintos. El desarrollo paralelo nos dice algo importante: el cero, una vez que existe un sistema posicional, es una idea que tarde o temprano se impone por sí sola.

India: nace el número

El manuscrito Bakhshali, un texto matemático escrito sobre corteza de abedul y descubierto en Pakistán en 1881, contiene un símbolo de punto utilizado como cero marcador de posición en los cálculos. La datación del manuscrito ha sido objeto de debate durante décadas; los análisis de distintas secciones han arrojado fechas que van del siglo III al X d. C. Es claramente antiguo y claramente usa un cero posicional, pero la cuestión de exactamente cuánto tiempo tiene no se ha resuelto de forma definitiva.

Lo que sí está establecido es la fecha del Brahmasphutasiddhanta de Brahmagupta: 628 d. C. Este texto, escrito por un matemático y astrónomo de lo que hoy es Rajastán, contiene la primera definición explícita conocida del cero como número y las primeras reglas sistemáticas para la aritmética con él.

Las reglas de Brahmagupta eran precisas. Un número más cero es igual al número. Un número menos cero es igual al número. Cero multiplicado por cualquier número es igual a cero. Un número más su negativo es igual a cero. Estas son las reglas que hacen del cero un número en lugar de una notación, y Brahmagupta las enunció con claridad.

También intentó dividir por cero, que es donde tropezó. Declaró que cero dividido por cero es igual a cero, lo cual es incorrecto —la división por cero no está definida, como Aristóteles había intuido incluso sin disponer del concepto de cero—. Este error tardaría siglos en resolverse por completo. Pero no resta mérito al logro; demuestra que Brahmagupta estaba haciendo matemáticas de verdad con el cero, explorando sus propiedades y llegando a conclusiones que podían verificarse y corregirse.

La inscripción de Gwalior, un registro en piedra del año 876 d. C. en el centro de la India, contiene lo que se considera el cero más antiguo en un contexto numérico claro, representando el número 270 en una forma inmediatamente reconocible para los ojos modernos. En el siglo IX, el cero en la tradición matemática india era un componente plenamente integrado de la aritmética.

La transmisión árabe

La tradición matemática árabe absorbió las matemáticas indias en los siglos VIII y IX mediante un proceso de traducción activa y asimilación. El califato abasí, con sede en Bagdad, respaldó un extraordinario proyecto intelectual: la traducción de textos matemáticos y científicos griegos, persas e indios al árabe. Los numerales indios, incluido el cero, viajaron por esa vía.

Muhammad ibn Musa al-Juarismi, que trabajó en Bagdad en los inicios del siglo IX, escribió textos sobre aritmética india que pusieron el sistema de numeración indoarábigo —incluido el cero— al alcance de los estudiosos de habla árabe en todo el mundo islámico. Su nombre, latinizado, nos da la palabra «algoritmo». La palabra «álgebra» procede del título de otra de sus obras.

En el siglo X, el sistema de numeración indoarábigo —con el cero— era el sistema matemático de trabajo desde Asia Central hasta España. El cero había viajado desde el manuscrito de un astrónomo indio en Rajastán hasta la cultura matemática del mundo conectado entero en aproximadamente dos siglos.

Europa: la larga resistencia

El encuentro de Europa con el cero fue complicado. El sistema de numeración romano, que carecía de cero y de estructura posicional, había servido a la civilización latina durante siglos. Su sustitución exigía cambiar no solo la notación, sino una concepción fundamental de cómo funcionaban los números.

El matemático italiano Fibonacci, nacido en Pisa hacia 1170 y formado en parte en el norte de África, donde entró en contacto con las matemáticas árabes, publicó el Liber Abaci en 1202. El libro introdujo los numerales indoarábigos, incluido el cero, ante un público europeo, con explicaciones sistemáticas de su utilidad para el cálculo comercial. Fibonacci no fue el primero europeo en conocer estos numerales, pero fue el más eficaz a la hora de demostrar su utilidad práctica para comerciantes y contables.

La adopción no fue inmediata. Florencia prohibió brevemente los numerales indoarábigos en la contabilidad mercantil en 1299, alegando que el uso del cero facilitaba demasiado la falsificación de cuentas añadiendo ceros a las cifras. La prohibición acabó abandonándose porque el sistema era sencillamente demasiado útil como para prohibirlo. Los mercaderes alemanes que competían por ventajas comerciales frente a rivales que ya empleaban el nuevo sistema no tenían paciencia para las objeciones filosóficas al concepto de nada.

En el siglo XVI, los numerales indoarábigos, incluido el cero, eran estándar en la Europa culta. La reforma del calendario gregoriano, el desarrollo de los logaritmos, el surgimiento del cálculo infinitesimal en el siglo XVII —todo ello depende de un sistema de numeración posicional con un cero funcional—. Habría sido imposible con los numerales romanos.

Lo que hizo posible el cero

La diferencia entre unas matemáticas sin cero y unas matemáticas con él no es una cuestión de notación. Es una cuestión de qué preguntas pueden formularse.

Sin el cero como número, no existe el concepto de números negativos —no hay nada por debajo de lo que estar—. Sin el cero y los números negativos, no hay recta numérica, ni sistema de coordenadas, ni manipulación algebraica de ecuaciones con cero a un lado. Sin esas herramientas, no hay cálculo infinitesimal, no hay matemáticas continuas y, en última instancia, no hay física moderna.

Las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de los planetas, el flujo de la electricidad o el comportamiento de las partículas cuánticas están escritas en un lenguaje matemático que requiere el cero. Los ordenadores que funcionan con código binario —un sistema en el que cada valor es 0 o 1— requieren el cero. El sistema GPS que triangula tu posición usando las matemáticas de la relatividad general requiere el cero.

Brahmagupta, al enunciar sus reglas para la aritmética en Rajastán en el año 628 d. C., no podía haber previsto nada de esto. Estaba resolviendo un problema que llevaba generaciones inquietando a los matemáticos indios: cómo tratar el resultado de restar un número de sí mismo como un número con el que se pudiera operar. El problema parecía abstracto. La solución resultó ser el pilar sobre el que descansa la mayor parte de la ciencia cuantitativa moderna.

Esa es la suerte habitual de las ideas verdaderamente importantes: parecen resolver un problema técnico concreto y resulta que lo han cambiado todo.